方差是衡量随机变量或一组数据离散程度的重要指标,它表示数据相对于其平均值的波动大小,方差越大,数据的波动性越大;方差越小,数据越集中,以下是求方差的详细方法:
总体方差
对于总体方差,计算公式为:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i \mu)^2 \]
\( \sigma^2 \) 是方差,\( N \) 是数据集的大小,\( x_i \) 是数据集中的每个元素,\( \mu \) 是数据集的平均值。
计算步骤如下:
1、计算平均值:首先计算出数据集的平均值 \( \mu \),公式为:
\[ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]
2、计算偏差:然后计算每个数据点与平均值的偏差,即 \( x_i \mu \)。

3、平方偏差:将每个偏差进行平方,得到 \( (x_i \mu)^2 \)。
4、求和:将所有平方偏差相加,得到 \( \sum_{i=1}^{N}(x_i \mu)^2 \)。
5、平均:将求和后的值除以数据点的个数 \( N \),得到总体方差 \( \sigma^2 \)。
样本方差
在实际应用中,由于总体数据往往难以完全获取,通常会从总体中抽取一个样本来估计总体方差,样本方差的计算公式为:
\[ s^2 = \frac{1}{n1} \sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2 \]
\( s^2 \) 是样本方差,\( n \) 是样本的大小,\( x_i \) 是样本中的每个元素,\( \bar{x} \) 是样本的平均值。

计算步骤与总体方差类似,只是在计算平均时,分母使用 \( n1 \) 而不是 \( n \),这是为了校正样本方差的偏差,使其成为总体方差的无偏估计。
示例
假设有一个数据集:\[ 2, 4, 6, 8, 10 \]
1、计算平均值:
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2、计算偏差:
\[ 26=4, 46=2, 66=0, 86=2, 106=4 \]
3、平方偏差:
\[ (4)^2 = 16, (2)^2 = 4, 0^2 = 0, 2^2 = 4, 4^2 = 16 \]
4、求和:
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
5、计算样本方差(注意这里使用 \( n1 \)):
\[ s^2 = \frac{40}{51} = 10 \]
FAQs
问:为什么在计算样本方差时要使用 \( n1 \) 而不是 \( n \)?
答:使用 \( n1 \) 而不是 \( n \) 是为了校正样本方差的偏差,使其成为总体方差的无偏估计,这是因为样本均值是基于样本数据计算的,它比总体均值更能代表样本的中心位置,但同时也减少了一个自由度,因此需要使用 \( n1 \) 来校正。